慶應SFC 環境情報学部 AO入試 志望理由書 提出例(河添健研究会向け)

 議論の整理・・・ 

 一般に,集合(set)とは,「ものの集まり」をいう。ただし,ここで与えられた「もの」が,ある集合に属しているかどうかは,判定者に依存しない客観的な条件によって判定される。集合は単なる「集まり」であって,数学的秩序は求められない。一方,空間(space)とは,ほぼ「集合」の同義語である。しかし,数学において「空間」というときには,ある特別な性質を含意する。それは単なる「ものの集まり」であるだけではなく,それ全体である構造をもった「ものの集まり」を指す。「ベクトル空間」,「ユークリッド空間」などがその例である。特に,位相空間とは,位相(topology)という構造が組み込まれた「集合」を意味する。数学における位相とは,「近さ」「遠さ」という距離感ではなく,数学的性質による「グループ分け」を定式化したものである。

 

 問題発見・・・ 

 それでは,現代幾何学の主要な研究対象である「多様体」とは何であろうか。

 

 論証・・・ 

 外側に別の空間があることを仮定せず,内側だけを見て(内側だけで閉じて)理論構築することを可能にするのが「多様体」という空間概念である。すなわち多様体はそれ自体が独立した世界であり,その内側だけで幾何学や解析学が成立する。多様体をイメージするには,広がりをもった空間として局所的に認識できるがあまりにも大きすぎてその全体像がわからない,いわば現代人にとっての宇宙のような存在を想像すると分かりやすい。ここで,多様体の全体を把握する手段を考える。人工衛星から送信される区分化された画像をつなぎ合わせることで地球全体をカバーする地図(atlas)が作成できるのと同様に,区分ごとの局所的地図を全区分にわたって集約した「地図帳」が作成できれば,それが「世界全図」となる。このような「地図帳」を備えた位相空間を多様体と呼ぶ。さてここで,多様体上の関数をどのように解析するかを考える。多様体は直接操作できないため,多様体を区分化し,各区分を地図帳を介して一旦位相空間(ユークリッド空間)に投影させることで解析する手法を採るのである。

 

 結論・・・ 

 そこで,貴学総合政策学部の河添健教授に師事し,群構造をもつ可微分多様体であるLie群の数学的性質について研究を深めたいと考えている。

 

 結論の吟味・・・ 

 貴学の河添教授が発表された論文(*2)に感銘を受けたことから,ぜひとも貴学SFCに入学し,河添健研究会に入会することを強く希望する。

 

 

 

(*1) 河添健. “ヤコビ解析における実Hardy空間 調和解析の発展とHardy空間”, 数学, Vol.64, No.1, pp.1-23, 2012

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